Materi Persamaan dan Fungsi Kuadrat Part 1

Materi Matematika

Pengertian Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Dalam bahasa yang lebih sederhana persamaan kuadrat adalah persamaan yang pangkat variabel tertinggi dua (kuadrat).

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:
ax² + bx + c = 0 , dimana a ≠ 0,  a, b dan c adalah bilangan real.

a. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan memfaktorkan
ax² + bx + c = 0 dapat dinyatakan menjadi
a (x – x₁) (x – x₂) = 0.
Nilai x₁ dan x₂ disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Contoh 1 :
Selesaikan x² – 4 x + 3 = 0
Jawab: x² – 4 x + 3 = 0
(x – 3) (x – 1) = 0
x – 3 = 0 atau x – 1 = 0
x = 3 atau x = 1
Jadi, penyelesaian dari x² – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.

b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)² = q.
Contoh 1:
Tentukan himpunan penyelesaian dari x² – 6 x + 5 = 0.
Jawab: x² – 6 x + 5 = 0
x² – 6 x + 9 – 4 = 0
x² – 6 x + 9 = 4
(x – 3)² = 4
x – 3 = 2 atau x – 3 = –2
x = 5 atau x = 1
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah{ 1 , 5}.

1. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus
Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x² + b x + c = 0 adalah
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x² + 7x – 30 = 0.
Jawab: x² + 7x – 30 = 0
a = 1 , b = 7 , c = – 30
x = 3 atau x = –10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.

2. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 dengan akar-akarnya , b² – 4ac disebut diskriminan (D).
Contoh :
Tanpa menyelesaikan persamaan lebih dahulu, tentukan jenis-jenis akar persamaan kuadrat berikut:

1. x² + 5 x + 2 = 0

Jawab :

1. x² + 5 x + 2 = 0

a = 1 , b = 5 , c = 2
D = b² – 4ac = 5² – 4 . 1 . 2 = 25 – 8 = 17
Ternyata D > 0. Jadi, persamaan x² + 5 x + 2 = 0 mempunyai dua akar real berlainan.

3. Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat

1. Persamaan kuadrat ax² + bx + c = 0 mempunyai akar x₁ dan x₂.

ax² + bx + c = 0
x² +x + = 0
Karena x₁ dan x₂ merupakan akar-akar persamaan kuadrat, maka :
Jadi, , .
Contoh:
Akar-akar x² – 3x + 4 = 0 adalah x₁ dan x₂. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut, hitunglah nilai:

1. x₁ + x₂ d.
2. x₁.x₂ e. x₁³ + x₂³
3. x₁² + x₂²

Jawab: x² – 3 x + 4 = 0 ® a = 1 , b = –3 , c = 4
a. x₁ + x₂ = 3
b. x₁.x₂ = 4
c. x₁² + x₂² = x₁² + x₂² + 2 x₁.x₂ – 2 x₁.x₂
= (x₁ + x₂)² – 2 x₁ x₂ = 2 (-3)² – 2 . 4 = 1
e. (x₁ + x₂)³ = x₁³ + 3 x₁² x₂ + 3 x₁ x₂² + x₂³
= x₁³ + 3 x₁ x₂ (x₁ + x₂) + x₂³
x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)³ – 3 x₁ x₂ (x₁ + x₂)
= 3³ – 3 . 4 (3)
= 27 – 36 = –9

4. Menyusun Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:
v menggunakan perkalian faktor,
v menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.

a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor
Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x² + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai
(x – x₁) (x – x₂) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x₁ dan x₂. Dengan demikian jika akar-akar
persamaan kuadrat x₁ dan x₂ maka persamaannya adalah (x – x₁) (x – x₂) = 0.
Contoh 1:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.
Jawab: (x – x₁) (x – x₂) = 0
(x – 3) (x – (-2)) = 0
(x – 3) (x + 2) = 0
x² – 3 x + 2 x – 6 = 0
x² – x – 6 = 0.

b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar
Persamaan .
Dengan menggunakan x₁ + x₂ = –dan x₁ x₂ = , maka akan diperoleh persamaan:
x² – (x₁ + x₂)x + x₁x₂ = 0.
Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.
Jawab: x₁ + x₂ = -2 – 3 = – 5
x₁ x₂ = 6
Jadi, persamaan kuadratnya x² – (–5)x + 6 = 0 atau x² + 5x + 6 = 0.

c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain
Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.
Contoh 1:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0.
Jawab:
Misal akar-akar persamaan x² – 2x + 3 = 0 adalah x₁ dan x₂. ® x₁ + x₂ = 2 , x₁ x₂ = 3.
Jika akar-akar persamaan kuadrat baru adalah p dan q, maka p = x₁ + 3 dan q = x₂ +3
p + q = (x₁ + 3) + (x₂ + 3) p q = (x₁ + 3) (x₂ + 3)
= x₁ + x₂ + 6 = x₁ x₂ + 3(x₁ + x₂) + 9
= 2 + 6 = 8 = 3 + 2(2) = 9 = 18
Persamaan kuadrat yang akar-akarnya p dan q adalah x² – (p + q) + pq = 0.
Persamaan kuadrat baru adalah x² – 8x + 18 = 0.

Berhubung materinya banyak maka tidak mungkin kami tuliskan semua, untuk materi lengkap silahkan unduh file pdf materi persamaan kuadrat untuk kelas X bagian I.

Dan nantikan materi persamaan kuadrat kelas X bagian II di posting berikutnya, Semoga.

Jika anda mengalami permasalahan matematika boleh didiskusikan melalui blog ini dengan mengisi di kolom komentar. Terima kasih telah berkunjung!